Polynômes

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Polynômes

Message par felixl le Jeu 9 Oct - 17:13

Bonjour,

Je propose de rassembler tous les problèmes sympas sur les polynômes sur ce sujet.

Je commence : déterminer les polynômes à coefficients complexes qui envoient \(\mathbf{Q}\) sur \(\mathbf{Q}\).

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Message par Adrienmath le Sam 25 Oct - 18:59

Ce sont les polynômes à coefficients rationnels (utiliser l'interpollation de Lagrange)

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Re: Polynômes

Message par felixl le Sam 25 Oct - 20:54

Il était sous-entendu subjectivement.

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Re: Polynômes

Message par Adrienmath le Dim 26 Oct - 6:57

Plus difficile : trouver tous les polynômes qui envoient Z sur Z...

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Re: Polynômes

Message par felixl le Dim 26 Oct - 7:51

Je voulais dire " surjectivement"

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Re: Polynômes

Message par Adrienmath le Mar 28 Oct - 20:23

Si en plus ça doit être surjectif il faut que le polynôme soit de degré impair.

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Re: Polynômes

Message par felixl le Mar 28 Oct - 20:25

Bon, je reformule le problème : trouver les \(P \in \mathbf{C}[X]\) tels que \(P(\mathbf{Q}) = \mathbf{Q}\). On demande une condition nécessaire et suffisante « simple » (du style « les polynômes de degré 7 dont le coefficient dominant est une puissance de \(\pi\) »). Désolé de l'imprécision de l'énoncé original.

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Re: Polynômes

Message par Adrienmath le Ven 31 Oct - 21:13

Désolé, mais je ne comprends toujours pas Wink

Voici ma solution.

Les polynômes constants ne conviennent pas. Par la suite soit P un tel polynôme de degré d, d>=1. Il existe un polynôme Q de degré d à coefficients rationnels (interpollation) tel que Q(i)=P(i) pour tout i entier, 1=<i=d+1, d'où Q=P et P est à coefficients rationnels. Il est alors clair que P(a) est rationnel pour tout a rationnel, mais P doit atteindre tous les rationnels, soit tous les réels par continuité... Cette dernière condition est équivalente à P est de degré impair (trivial).

Ainsi, la conclusion est "tous les polynômes P à coefficients complexes tels que P(Q)=Q sont les polynômes à coefficients rationnels de degré impair", ce qui me paraît simple et juste.

Donne la solution pour que je vois où incompréhension il y a Very Happy

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Re: Polynômes

Message par felixl le Ven 31 Oct - 21:22

Contre-exemple : \(X^3\). Par exemple, il n'existe pas de rationnel \(a\) tel que \(a^3 = 2\)…

Si P est de degré impair, alors certes tous les réels (et donc en particulier tous les rationnels) seront atteints, mais il n'auront pas nécessairement d'antécédent rationnel. Ton équivalence est bien correcte, mais juste avant tu as raisonné par implication…

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Re: Polynômes

Message par Adrienmath le Sam 1 Nov - 8:56

Ah ok j'ai compris

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Re: Polynômes

Message par felixl le Jeu 15 Jan - 15:21

Un autre super cool (pas facile) : soit \(P \in \mathbb{Z}[X]\) unitaire dont toutes les racines complexes sont de module inférieur ou égal à 1 et qui ne vaut pas 0 en 0. Montrer que les racines de \(P\) sont des racines de l'unité.

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Re: Polynômes

Message par l'autre le Jeu 29 Oct - 17:35

le deuxieme est tres fun,

je pense que juste le decomposer en somme de X^n-1 pour les différents entiers ca aide
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