Petite énigme

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Petite énigme

Message par felixl le Sam 30 Aoû - 14:14

Bonjour !

Pour relancer un peu le forum, je propose une petite énigme.

Soit \(x = 0,122333444455555666666777777788888888999999999\ldots\) Est-ce un nombre rationnel ou irrationnel ?


Dernière édition par felixl le Sam 30 Aoû - 16:59, édité 1 fois

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Re: Petite énigme

Message par felixl le Sam 30 Aoû - 14:58

Voici un autre problème (d'après un exercice posé à l'oral de l'ÉNS) :

Pour \(n \geq 1\), on note \(r_n\) la probabilité pour que deux entiers choisis aléatoirement dans \(\{1, 2, \ldots, n\}\) soient premiers entre eux. Montrer que

$$\lim_{n \to +\infty} r_n = \frac{6}{\pi^2}$$

On pourra utiliser que :

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \lim_{N \to +\infty} \sum_{n = 1}^N \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

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Re: Petite énigme

Message par Adrienmath le Sam 30 Aoû - 16:55

Pour le premier, x est irrationnel (par l'absurde en utilisant la périodicité de la fraction). Pour le second, je connaissais déjà le résultat mais pas la preuve, j'y réfléchirai quand j'aurai le temps.

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Re: Petite énigme

Message par felixl le Sam 30 Aoû - 16:57

Oui enfin tu sais montrer qu'il n'y a pas de période, c'est toute la difficulté de la chose… Ça n'est pas excessivement dur mais ça demande un petit argument (c'est pour ça que j'ai dit que c'était une énigme, d'ailleurs, et pas un exercice). Smile

PS : rien à voir mais je crois que je suis en HX2 Cool Pas du tout sûr cela dit.

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Re: Petite énigme

Message par Phi le Dim 31 Aoû - 7:40

Spoiler:

D'abord une petite définition: j'appelle dupliqué n d'un entier N le nombre qui correspond à n fois le chiffre N écrit de gauche à droite. Exemple: le dupliqué 2 de 123 est 123123.
Supposons que la fonction soit périodique  à partir d'un certain rang, la période forme un nombre de N chiffres, si elle ne commence pas par 0 (sinon osef, on peut la permuter circulairement)

Il existe n tel que lorsqu'on arrive aux décimales correspondant au dupliqué n de N, on est déjà dans la période, qui se finit donc à chaque duplication de N. Mais alors, quand on atteindra le suivant du dupliqué n de N, cela ne correspondra  plus à la période. Contradiction, d'où la conclusion.


[Désolé pour l'absence de clarté]


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