Pas trop dur mais sympa

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Pas trop dur mais sympa

Message par Touveutoubé le Mer 25 Juin - 15:52

Sans doute connu par certains :

Soit \(P\) un polynôme à coefficients entiers.
Existe-t-il \(a,b,c \in \mathbb{N}\) tels que
\begin{eqnarray}
P(a)=b\\
P(b)=c\\
P(c)=a
\end{eqnarray}
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Re: Pas trop dur mais sympa

Message par Phi le Mer 25 Juin - 18:55

Solution classique qui permet de montrer un résultat plus fort:

Non.

On a clairement \(a-b|b-c|c-a|a-b\) soit \(|a-b|=|b-c|=|c-a|\).
WLOG \(b=max(a,b,c)\), alors \(b-a=|a-b|=|b-c|=b-c\) donc \(a=c\).
Il s'ensuit \(b=P(a)=P(c)=a\) soit \(P(a)=a=b=c\).
Donc a existe si et seulement si le polynôme a un point fixe entier, a est n'importe lequel de ses points fixes.


Dernière édition par Phi le Ven 27 Juin - 16:59, édité 1 fois

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Re: Pas trop dur mais sympa

Message par Nalafabi le Ven 27 Juin - 16:25

Ta réponse est fausse : pour l'exemple trivial du polynôme nul, avec a=b=c=0, ça fonctionne. Donc ça ne peut pas être non dans tous les cas.

Ma réponse:

Ca dépend du polynome
Exemple où on peut : polynôme nul, a=b=c=0
Exemple où on ne peut pas : x²+1 : on a a inférieur à b inférieur à c inférieur à a donc a inférieur à a contradiction
Bizarre un énoncé où il n'y a pas de réponse par oui ou non...

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Re: Pas trop dur mais sympa

Message par Phi le Ven 27 Juin - 16:55

Effectivement, merci, j'avais jeté un oeil, j'ai vu que je connaissais sans voir la spécificité. Je vais éditer.

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Re: Pas trop dur mais sympa

Message par Touveutoubé le Ven 27 Juin - 17:26

Ouais, j'aurais dû préciser (mais la flemme, désolé, enfin ça donne lieu à des réflexions intéressantes  Rolling Eyes ) qu' \(a,b\) et \(c\) devaient être distincts, ce qui fait toute la trivialité du pb...
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Re: Pas trop dur mais sympa

Message par Nalafabi le Ven 27 Juin - 17:31

Phi a écrit:On a clairement \(a-b|b-c|c-a|a-b\) soit \(|a-b|=|b-c|=|c-a|\).
Euh pour moi ce n'est pas clair.

En revanche, c'est vrai que ta conclusion a l'air d'être vrai.
edit : en prenant en compte la remarque de l'énonciateur ça a vraiment l'air d'être ça

Preuve pour degré 1:

On pose f(x) = ux + v
On montre que a(1-u^3) = u²v+uv+v = b(1-u^3) = c(1-u^3)
Donc soit a=b=c (mais on cherche une autre solution), soit 1-u^3 = 0 <=> u = 1
Mais dans ce cas on montre que a = 3v = b = c.
Donc la seule solution est a=b=c
Voilà c'est un cas particulier qui ne servira sûrement à rien mais c'est pour confirmer cette hypothèse.

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Re: Pas trop dur mais sympa

Message par Nalafabi le Ven 27 Juin - 18:01

Petit résultat : aucun P ne vérifie P(0)=1 ; P(1)=c ; P(c)=0 avec c impair. Problème de parité car les coefficients sont entiers.

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Re: Pas trop dur mais sympa

Message par Touveutoubé le Ven 27 Juin - 18:12

Ce que voulait dire Phi est que \(a-b | P(a)-P(b)\), ce qui vient du fait que \(a-b|a^n-b^n\)
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Re: Pas trop dur mais sympa

Message par Nalafabi le Ven 27 Juin - 18:40

Mais je ne vois pas en quoi ça prouve l'égalité des valeurs absolues.

Sinon, j'ai trouvé que dans tous les cas a, b et c doivent avoir la même parité (disjonction des cas sur les parités du coefficient tout seul et de la somme des coefficients).

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Re: Pas trop dur mais sympa

Message par Cding le Ven 27 Juin - 19:30

En fait, tu as \(a-b|b-c\) et \(b-c|a-b\). D'où \(|a-b|=|b-c|\). Tu fais la même chose avec \(c-a\)
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Re: Pas trop dur mais sympa

Message par Nalafabi le Ven 27 Juin - 20:46

Non mais oui je suis trop bête j'avais oublié entre-temps que P(a) = b donc oui je suis tout à fait d'accord avec la preuve.

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