Équation fonctionnelle

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Équation fonctionnelle

Message par Adrienmath le Mar 17 Juin - 15:45

Le A4 de 2007 est assez sympa : trouver toutes les fonctions f : R+* -> R+* vérifiant f(x+f(y)) = f(x+y) + f(y).

J'ai une preuve en 5 lignes Smile Mais il m'a fallu un peu plus d'une demie heure pour les trouver, ces 5 lignes...


Dernière édition par Adrienmath le Mar 17 Juin - 16:37, édité 1 fois
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Re: Équation fonctionnelle

Message par Phi le Mar 17 Juin - 16:18

Une demi-heure pour un A4, ce n'est pas mal.
J'imagine évidemment que x et y doivent être des réels strictement positifs...

Edit 4:
Enfin la solution complète:

Supposons qu'il existe \(y>0\) tel que \(x=y-f(y)>0\). Alors \(f(x+f(y))=f(y)=f(2y-f(y))+f(y)\), contradiction. Donc \(f\geq Id\) et f diverge vers \(\infty\).
Supposons qu'il existe \(y>z>0\) tels que \(f(y)=f(z)\), alors pour tout \(x>0, f(x+z)=f(x+f(z))-f(z)=f(x+f(y))-f(y)=f(x+y)\) donc f est \(y-z\)périodique et ne peut devenir arbitrairement grande. Donc f est injective.

Supposons qu'il existe \(y>0\) tel que \(2y > f(y)\), alors, pour \(x>y\):
$$ f(f(x)+f(y))=f(x)+f(x+f(y))=f(x)+f(y)+f(x+y)=f(y+(x-y))+f(y)+f(x+y)=f(x+y)+f(x-y+f(y))$$
$$f(x+y)+f(x-y+f(y))=f([x-y+f(y)]+[2y-f(y)])+f(x-y+f(y))=f(2y-f(y)+f(x-y+f(y)))$$
Donc \(f(x)+f(y)=2y-f(y)+f(x-y+f(y))=2y-f(y)+f(x-y+y)+f(y)\) d'où \(f(y)=2y\) contradiction.
Donc \(f-2Id \geq 0\).
\(2(f(x)+f(y)) \leq f(f(x)+f(y))=f(x)+f(y)+f(x+y)\) donc \(f(x+y)\geq f(x)+f(y)\)

Supposons qu'il existe \(y>0\) tel que \(f(y)>2y\), alors, pour tout \(x>y\):
$$f(f(x)+f(y))=f(x-y+f(y))+f(x+y)=f([x+y]+[f(y)-2y])+f(x+y)=f(f(x+y)+f(y)-2y)$$
Par injectivité \(f(x)+f(y))=f(x+y)+f(y)-2y\)
Donc \(f(x)=f(x+y)-2y \geq f(x)+f(y)-2y\) donc \(f(y) \leq 2y\), contradiction.
Ainsi \(f(x)=2x\) pour tout x et on voit bien qu'une telle fonction vérifie l'équation.

Problème sympathique en effet.

Phi
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