Une belle inégalité

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Une belle inégalité

Message par Adrienmath le Ven 23 Mai - 18:46

Salut,

Je trouve l'exercice A5 de 2004 particulièrement élégant et largement faisable si vous avez écouté Bodo parler d'inégalités  Very Happy Je pense même que c'est une parfaite application de son cours...

Le voici : Soient a, b, c des réels strictement positifs tels que ab+bc+ca=1. Monter que SOMME_cyc ( 1/a + 6b )^(1/3) =< 1/(abc) .

Bonne chance  Wink 
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Re: Une belle inégalité

Message par Phi le Sam 24 Mai - 9:23

Je me disais bien que ça me retomberait dessus de ne pas être allé à Lyon.  

Vu comme ça, on aurait 1/a+1/b+1/c=1/(abc) donc on pourrait poser 1/a=tan(x), 1/b=tan(y), 1/c=tan(z) et x+y+z=180°. Sauf qu'avec les racines cubiques, cela ne m'a pas vraiment l'air de quelque chose d'efficace. L'usage de l'inégalité des moyennes pour ôter ces racines cubiques m'étonnerait aussi. L'alternative Jensen ne me dit rien qui vaille non plus.

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Re: Une belle inégalité

Message par Wassim le Sam 24 Mai - 12:34

Merci Adrien pour cette inégalité très belle ! Sur quel site trouves-tu les shorts lists d'avant 2005 ?

Voici une solution :
Spoiler:


ab+bc+ca=1 si et seulement si 1/a + 1/b + 1/c = 1/(abc) comme nous l'informe Phi

SOMME_cyc ( 1/a + 6b )^(1/3) = SOMME_cyc ( 1 * 1/a * (1+6ab) )^(1/3)

Grâce à l'inégalité de Bodo-Hölder qui dit que :
(a1*b1*c1)^(1/3) + (a2*b2*c2)^(1/3) + (a3*b3*c3)^(1/3) =< [(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3)]^(1/3)

On a :
SOMME_cyc ( 1 * 1/a * (1+6ab) )^(1/3) =< [(1+1+1)*(1+1+1+6(ab+bc+ca))*( 1/a + 1/b + 1/c )]^(1/3)

Donc en simplifiant on a :
LHS (la gauche) =< 3 * (1/(abc))^(1/3)

Il reste a montrer que : 3 =< 1/[(abc)^(2/3)]
C'est à dire : [(abc)^(1/3)]^2 =< 1/3

Or, d'après l'inégalité de Bodo-(Mac-Laurin)
(abc)^(1/3) =< [(ab + bc + ca)/3]^(1/2)

En remplacent à nouveau ab + bc + ca par 1 et en élevant au carré, on obtient ce qu'il nous faut  Very Happy 

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Re: Une belle inégalité

Message par Phi le Sam 24 Mai - 12:36


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Re: Une belle inégalité

Message par Wassim le Sam 24 Mai - 12:42

Merci !!
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Re: Une belle inégalité

Message par Adrienmath le Dim 25 Mai - 6:18

Phi a écrit:Je me disais bien que ça me retomberait dessus de ne pas être allé à Lyon.  

Vu comme ça, on aurait 1/a+1/b+1/c=1/(abc) donc on pourrait poser 1/a=tan(x), 1/b=tan(y), 1/c=tan(z) et x+y+z=180°. Sauf qu'avec les racines cubiques, cela ne m'a pas vraiment l'air de quelque chose d'efficace. L'usage de l'inégalité des moyennes pour ôter ces racines cubiques m'étonnerait aussi. L'alternative Jensen ne me dit rien qui vaille non plus.

J'ai essayé la substitutuion trigonométrique mais je n'ai pas abouti. En revanche, avec les moyennes ça marche très bien (reste à savoir lesquelles utiliser  Very Happy ) et avec Jensen aussi... Perso je l'ai faite avec Hölder et ensuite il faut encore montrer un petit truc qui se fait en développant tout et Muirhead (ou remarquer que c'est convexe en e_3 donc utiliser la technique lyonnaise  Cool ), mais sur Mathlinks un mec l'a faite avec Hölder en littéralement 3 lignes parce qu'il l'a appliqué plus subtilement  Embarassed

Donc en fait cette inégalité est facile puisque tout marche pour la résoudre  Wink 
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Re: Une belle inégalité

Message par Phi le Dim 25 Mai - 10:36

En même temps, les moyennes à utiliser n'étaient pas spécialement obscures. C'étaient soit celles de 1/2, soit celles de 1.

Je le suis aussi rendu compte que je tenais Hölder, MacLaurin et Newton comme des curiosités plus que des résultats utiles. Grosse, grosse erreur... Embarassed   

Sinon, à quoi correspond la technique lyonnaise?


PS: le A1 de 1998 vaut le détour pour son absence de difficulté.  Shocked 

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Re: Une belle inégalité

Message par Wassim le Dim 25 Mai - 10:50

La technique lyonnaise, il me semble que c'est utiliser IAG plusieurs fois (souvent 2 ou 3 fois) avec à chaque fois seulement la moitié ou le tiers des termes à gauche et à droite. En somment les inégalités, on obtient le résultat.

MAIS il est évident que La meilleure technique c'est :
développer TOUT//dériver TOUT//Jensen  Twisted Evil  Twisted Evil 
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Re: Une belle inégalité

Message par Phi le Dim 25 Mai - 10:57

Ce n'est pas sûr que ça marche...

Tant qu'à faire, tu développes, tu dérives et tu trouves les minima et tu vois que c'est 0.

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Re: Une belle inégalité

Message par Adrienmath le Dim 25 Mai - 14:25

De tout façon , il y a une chance sur 4 pour qu'il y ait une inégalité à l'imo, et si c'est pas un exo 3 ou 6, alors il y a 3 chances sur 4 pour qu'elle se fasse avec CS ou IAG. Mieux vaut donc maîtriser parfaitement ces deux inégalités que d'en connaître plein mais à moitié maîtrisées...
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