Un exo de géométrie

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Un exo de géométrie

Message par Adrienmath le Jeu 22 Mai - 19:19

Bonjour à tous,

Voilà un exercice de géométrie très chouette. C'est le G1 de 2005 (oui, je descends les SL  Very Happy ) mais je le trouve assez difficile...

Soit ABC un triangle vérifiant AB+BC=3*AC. Le cercle inscrit dans ce triangle a pour centre I et il touche AB, BC en D et E respectivement. Soient K et L les symétriques de D et E par rapport à I. Montrer que ACKL est inscriptible.

Bonne chance !
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Adrienmath
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Re: Un exo de géométrie

Message par l'autre le Jeu 22 Mai - 21:22

perso le probleme est toujours le meme : avec une bonne figure c'est trivial, mais sans geogebra ca l'etait moins

apres la substitution classique on obtient EB=AC
mais le point k est le symétrique de E par rapport à I donc soit H le point d'intersection de AK avec BC on a donc AHC isocele en C
soit on a on veut mais
je vous laisse prouver que l'on a bien 2a+90-a=90+a
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Re: Un exo de géométrie

Message par Adrienmath le Ven 23 Mai - 7:02

Oui, c'est la solution la plus naturelle mais j'y avais pas pensé sur le coup  Embarassed 

Comme je savais pas quoi faire, j'ai fait une inversion de centre I. Soit F le point de contact du cercle inscrit avec AC. Cette inversion échange K et L avec eux même, A avec (D+F)/2 et C avec (F+E)/2. Mais ces quatre points sont alignés (on utilise le lemme magique. L'alignement est équivalent à sin(bêta/2)=sin(alpha/2)*sin(gamma/2) ce qui se montre facilement avec la condition de l'énoncé) d'où la conclusion.
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